已知四棱锥S-ABCD中，△SAD是边长为2的正三角形，平面SAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，∠DAB=60°，O为AD的中点，Q为SB的中点，H为OQ的中点．（1）求证：OQ∥平面SCD；（2）求二面角D-OC-Q的余弦值；（3）证明：在△AOB内存在一点M，使HM⊥平面QOC．","title_text":"已知四棱锥S-ABCD中，△SAD是边长为2的正三角形，平面SAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，∠DAB=60°，O为AD的中点，Q为SB的中点，H为OQ的中点．（1）求证：OQ∥平面SCD；（2）求二面角D-OC-Q的余弦值；（3）证明：在△AOB内存在一点M，使HM⊥平面QOC．

【解答】解：（1）取SC中点R，连接QR，DR，由题意知OD∥BC，OD=12BC，QR∥BC，QR=12BC，QR∥OD，QR=OD所以OQ∥DR，又OQ⊄平面SCD，DR⊂平面SCD所以OQ∥平面SCD（2）连接SO，BO，在△OAB中，OB⊥OA又因为平面SAD⊥平面ABCD，所以OS⊥AD，所以OS⊥平面ABCD所以OA，OB，OS两两垂直如图，建系O(0，0，0)，S(0，0，3)，B(0，3，0)，C(-2，3，0)Q(0，32，32)平面OCD的法向量为OS=(0，0，3)设n=(x，y，z)为平面OQC的一个法向量由n•OQ=0n•OC=0得32y+32z=0-2x+3y=0取z=1得cos＜n，OS＞=n•OS|n|•|OS|=22211二面角D-OC-Q的余弦值为-21111（3）设点M（x，y，0），H(0，34，34)，HM=(x，y-34，-34)，HM⊥平面QOC，∴x=(-32)(-34)=38y=34+34=32在△AOB内部区域满足不等式组x＞0y＞0x+y3＜1经检验M坐标满足在△AOB内存在一点M，使HM⊥平面QOC